SISTEMAS DE NUMERACIÓN DE LA HISTORIA
Todas las culturas generalmente necesitan contar. Contar personas, días, objetos, distancias, productos, son acciones de la vida cotidiana, y por eso los números son esenciales para las sociedades. Los números no son más que los símbolos utilizados para contar.
Los niños empiezan a contar con los dedos, antes de estar familiarizados con los números, porque contar con los dedos es mucho más explícito que contar con símbolos gráficos, y por tanto más fácil de entender.
En el principio de la humanidad, las personas usaban los dedos para contar, o también cualquier objeto pequeño como piedras, palos, semillas o frutos. También se sabe que contaban haciendo pequeños nudos en cuerdas. Estos sistemas son útiles para contar pequeñas cantidades, pero cuando las cantidades aumentan considerablemente, como por ejemplo para representar 1.000 ó 2.000 o 10.000, estos métodos ya no son tan satisfactorios porque llevan demasiado tiempo y esfuerzo. De aquí deriva la necesidad de utilizar símbolos con los que se pueda contar cantidades grandes sin requerir un esfuerzo exagerado.
Obviamente, diferentes culturas han creado diferentes sistemas de numeración, y en este trabajo voy a explicar algunos de los más famosos.
Los niños empiezan a contar con los dedos, antes de estar familiarizados con los números, porque contar con los dedos es mucho más explícito que contar con símbolos gráficos, y por tanto más fácil de entender.
En el principio de la humanidad, las personas usaban los dedos para contar, o también cualquier objeto pequeño como piedras, palos, semillas o frutos. También se sabe que contaban haciendo pequeños nudos en cuerdas. Estos sistemas son útiles para contar pequeñas cantidades, pero cuando las cantidades aumentan considerablemente, como por ejemplo para representar 1.000 ó 2.000 o 10.000, estos métodos ya no son tan satisfactorios porque llevan demasiado tiempo y esfuerzo. De aquí deriva la necesidad de utilizar símbolos con los que se pueda contar cantidades grandes sin requerir un esfuerzo exagerado.
Obviamente, diferentes culturas han creado diferentes sistemas de numeración, y en este trabajo voy a explicar algunos de los más famosos.
TIPOS DE SISTEMAS
En primer lugar, para crear un sistema de numeración es imprescindible establecer una base de numeración, y a partir de ella desarrollar el sistema.
La base está constituida por el número de símbolos que se utilizan en el sistema. A los símbolos de los sistemas numéricos se les suele llamar cifras o números en general. Así, por ejemplo, nuestro sistema, que es el decimal, es de base 10, porque utiliza 10 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. La base se elige libremente, siempre y cuando sea un número natural mayor que 1; sin embargo, si la base es demasiado pequeña, se requerirán muchos símbolos para escribir simplemente un número (por ejemplo, en un sistema de base 2, una sola cifra como 9 se escribiría con 4 símbolos, 1001) y si la base es demasiado grande ocurrirá lo mismo. Por esta razón, muchos sistemas son poco utilizados, pues necesitan demasiados símbolos para representar números grandes, o incluso no pueden representar dichos números, dejando ya de lado efectuar operaciones simples como sumar o multiplicar.
La mayoría de los sistemas a lo largo de la historia han utilizado como base 10, seguramente originaria de los 10 dedos de las manos, y por eso también la gran mayoría de métodos han utilizado la misma agrupación para contar de unidades, decenas, centenas, millares, decenas de millar, centenas de millar, etc. que utilizamos nosotros, y como descripción general, casi todos los sistemas sirven para representar números enteros (Z), es decir, números positivos y negativos como 2 y -36 y 0. Sin embargo, las formas de escribir los números sí que han sido muy variadas, cambiando mucho de un pueblo a otro.
Para empezar, hay que saber que todos los sistemas de numeración se clasifican en dos grandes grupos: posicionales y no posicionales.
Los posicionales (o también ponderados), como su propio nombre indica, son aquellos en que la posición que ocupa una cifra dentro del número es muy importante, porque es lo que indica las unidades, las decenas, las centenas, etc. y son en los que el concepto de base de numeración se aplica, pues la base indica el número de símbolos que se pueden utilizar y representa el número de unidades que hacen falta para empezar otra unidad de orden superior.
Los no posicionales utilizan símbolos que representan su valor asignado sin importar la posición que ocupen dentro del número, por lo que el orden de los símbolos es indiferente. Los sistemas no posicionales son los más antiguos y menos desarrollados, y son más difíciles de utilizar.
A su vez los no posicionales pueden ser aditivos e híbridos o mixtos, siendo los primeros los que simplemente añaden el valor de un símbolo al siguiente hasta completar el número, sin importancia alguna de la posición, y los segundos los que mezclan las características de los aditivos con un principio de multiplicación. Es decir, si por ejemplo se quiere representar el número 1.000, un sistema aditivo pondría 10 símbolos de 100, mientras que un sistema híbrido utilizaría el 10 y el 100, multiplicándolos. En este sistema el orden sí que importa, pues si no se podrían confundir números como 202= 2 x 100 + 2, y 100 + 2 x 2= 204 ó 2 x 2 + 100 = 104. Este sistema es el antecesor del posicional, ya que es lógico intentar simplificar las potencias de 10 que se repiten continuamente en los mismos lugares. Esto es lo que dio origen al 0, la marca que indica que hemos pasado a otro orden superior o que un orden está vacío, como por ejemplo 1.500, donde los 2 ceros indican que estamos en millares (en vez de poner 5 x 100 + 1.000), y que no se confunda con 1.050 (5 x 10 + 1.000), donde el cero indica que las centenas están vacías aunque el número esté en orden de millar.
Empezaremos hablando de los sistemas no posicionales, por ser los más antiguos y los menos evolucionados. Entre éstos se encuentran varios sistemas de pueblos de la Antigüedad como los antiguos egipcios, los griegos y cretenses, los romanos y los aztecas.
La base está constituida por el número de símbolos que se utilizan en el sistema. A los símbolos de los sistemas numéricos se les suele llamar cifras o números en general. Así, por ejemplo, nuestro sistema, que es el decimal, es de base 10, porque utiliza 10 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. La base se elige libremente, siempre y cuando sea un número natural mayor que 1; sin embargo, si la base es demasiado pequeña, se requerirán muchos símbolos para escribir simplemente un número (por ejemplo, en un sistema de base 2, una sola cifra como 9 se escribiría con 4 símbolos, 1001) y si la base es demasiado grande ocurrirá lo mismo. Por esta razón, muchos sistemas son poco utilizados, pues necesitan demasiados símbolos para representar números grandes, o incluso no pueden representar dichos números, dejando ya de lado efectuar operaciones simples como sumar o multiplicar.
La mayoría de los sistemas a lo largo de la historia han utilizado como base 10, seguramente originaria de los 10 dedos de las manos, y por eso también la gran mayoría de métodos han utilizado la misma agrupación para contar de unidades, decenas, centenas, millares, decenas de millar, centenas de millar, etc. que utilizamos nosotros, y como descripción general, casi todos los sistemas sirven para representar números enteros (Z), es decir, números positivos y negativos como 2 y -36 y 0. Sin embargo, las formas de escribir los números sí que han sido muy variadas, cambiando mucho de un pueblo a otro.
Para empezar, hay que saber que todos los sistemas de numeración se clasifican en dos grandes grupos: posicionales y no posicionales.
Los posicionales (o también ponderados), como su propio nombre indica, son aquellos en que la posición que ocupa una cifra dentro del número es muy importante, porque es lo que indica las unidades, las decenas, las centenas, etc. y son en los que el concepto de base de numeración se aplica, pues la base indica el número de símbolos que se pueden utilizar y representa el número de unidades que hacen falta para empezar otra unidad de orden superior.
Los no posicionales utilizan símbolos que representan su valor asignado sin importar la posición que ocupen dentro del número, por lo que el orden de los símbolos es indiferente. Los sistemas no posicionales son los más antiguos y menos desarrollados, y son más difíciles de utilizar.
A su vez los no posicionales pueden ser aditivos e híbridos o mixtos, siendo los primeros los que simplemente añaden el valor de un símbolo al siguiente hasta completar el número, sin importancia alguna de la posición, y los segundos los que mezclan las características de los aditivos con un principio de multiplicación. Es decir, si por ejemplo se quiere representar el número 1.000, un sistema aditivo pondría 10 símbolos de 100, mientras que un sistema híbrido utilizaría el 10 y el 100, multiplicándolos. En este sistema el orden sí que importa, pues si no se podrían confundir números como 202= 2 x 100 + 2, y 100 + 2 x 2= 204 ó 2 x 2 + 100 = 104. Este sistema es el antecesor del posicional, ya que es lógico intentar simplificar las potencias de 10 que se repiten continuamente en los mismos lugares. Esto es lo que dio origen al 0, la marca que indica que hemos pasado a otro orden superior o que un orden está vacío, como por ejemplo 1.500, donde los 2 ceros indican que estamos en millares (en vez de poner 5 x 100 + 1.000), y que no se confunda con 1.050 (5 x 10 + 1.000), donde el cero indica que las centenas están vacías aunque el número esté en orden de millar.
Empezaremos hablando de los sistemas no posicionales, por ser los más antiguos y los menos evolucionados. Entre éstos se encuentran varios sistemas de pueblos de la Antigüedad como los antiguos egipcios, los griegos y cretenses, los romanos y los aztecas.
SISTEMA DE NUMERACIÓN EGIPCIO
El Antiguo Egipto utilizaba un sistema aditivo basado en jeroglíficos, es decir, pictórico. Al ser un sistema aditivo, el orden de los símbolos no importaba, y por eso muchas veces no se escribían seguidos unos de otros, sino amontonándolos o creando figuras para embellecer el dibujo. Usaban los jeroglíficos de la figura:
Por cada unidad escribían una raya vertical, por cada decena un arco, por cada centena una espiral, y así seguían asociando a cada orden superior (millar, decena de millar, centena de millar y millón) un jeroglífico diferente. Así se completaban todas las unidades que fueran necesarias para escribir un número. Por ejemplo, si se quiere escribir 1.576, se pondría el jeroglífico que representa 1.000, más 5 jeroglíficos de 100, más 7 de 10 más 6 unidades. Se podía cambiar la orientación de los símbolos, y escribirlos en cualquier dirección. Más tarde se introdujeron símbolos específicos para algunas de las cifras más utilizadas como 20, 30…, 200, 300…, 2000, etc. para agilizar la escritura de los números y no tener que escribir tantos símbolos. Con la conquista de Egipto por el imperio romano hacia el siglo I a.C. los números egipcios fueron sustituidos por los griegos y romanos, si bien ya antes su uso se había reducido a monumentos, siendo utilizada en el día a día de los escribas la escritura hierática y demótica, más sencilla de hacer. Así que en resumen tuvieron dos sistemas, uno jeroglífico y otro hierático.
SISTEMA DE NUMERACIÓN GRIEGO
Los griegos tenían sistemas diferentes para los números cardinales y los ordinales, aunque aquí sólo tratamos los cardinales. Por otra parte, al igual que los egipcios, los griegos desarrollaron dos sistemas: el sistema ático o acrofónico y el sistema jónico.
El sistema acrofónico, cuyo nombre deriva del griego ‘acro’= cabeza, lo que empieza y ‘phonos’=sonido, quiere decir que el símbolo utilizado para el número es la primera letra del nombre de ese número. Este sistema fue el primero que se desarrolló en Grecia, hacia el 600 a.C., y era un sistema de base 10, o sea decimal, con 9 símbolos, pero aditivo, es decir, que se iban añadiendo todos los símbolos necesarios para formar un número.
Éstos son los símbolos que se utilizaban y cómo se escribiría por ejemplo 3.737:
El sistema acrofónico, cuyo nombre deriva del griego ‘acro’= cabeza, lo que empieza y ‘phonos’=sonido, quiere decir que el símbolo utilizado para el número es la primera letra del nombre de ese número. Este sistema fue el primero que se desarrolló en Grecia, hacia el 600 a.C., y era un sistema de base 10, o sea decimal, con 9 símbolos, pero aditivo, es decir, que se iban añadiendo todos los símbolos necesarios para formar un número.
Éstos son los símbolos que se utilizaban y cómo se escribiría por ejemplo 3.737:
Como un sistema de base 10 aditivo requiere muchos símbolos para escribir un número grande, se formaron números compuestos para el 50, el 500 y el 5.000 combinando las potencias de 10 con el 5, usando un principio de multiplicación. Este sistema no es posicional, así que no contempla la presencia del cero, pues el orden no cambia el número que esté representado. El sistema acrofónico tuvo muchas variaciones (se han encontrado hasta 50) y fue utilizado, entre otras cosas, para contar dinero y para el sistema de pesos y medidas.
El sistema jónico o alfabético viene de dar a los números el mismo símbolo que las letras del alfabeto. Este sistema, también llamado numeración alfabética, era al igual que el anterior, decimal, no posicional y aditivo. Es decir, que lo que cambian son los símbolos. Se utilizaban las 24 letras del alfabeto griego, más 3 signos que también eran letras, pero que hoy en día ya no se usan.De este modo, las 9 primeras letras se tomaron como los números del 1 al 9, las 9 siguientes por las decenas hasta el 90, y las últimas 9 como las centenas hasta 900. A estos símbolos se les añadían los necesarios para completar un número.
Pero lógicamente de esta forma no se pueden sumar números mayores a 999, por lo que los griegos crearon otros símbolos compuestos para los siguientes números.Para los millares hasta 9.000 se añadía un superíndice o un subíndice iota a los símbolos del 1 al 9,
y para números mayores utilizaban la miríada, una unidad de medida que equivalía a 10.000, escribiendo encima o al lado de una M grande el número en pequeño, lo que quería decir que éste estaba multiplicado por 10.000.
Aunque tener que representar números mayores a 10.000 era poco frecuente en las actividades diarias de la Antigua Grecia, hubo dos propuestas famosas por parte de dos matemáticos interesados en ampliar el sistema numérico.
La primera fue la de Arquímedes, que elaboró un sistema utilizando octeto. Partiendo de 108 = 100.000.000 y utilizando las diversas potencias de 10 elevadas a los múltiplos de 8 Arquímedes estableció los octetos; así, el primer octeto estaría formado por los números desde el 10.000 hasta el 100.000.000, el segundo sería entre 108 y 1016 , y de igual modo los siguientes. Este sistema da un valor aproximado y relativo, pero que indica una clara superioridad entre una cifra y otra. De esta manera Arquímedes dio como medida de los granos de arena que podrían caber en el universo el octavo octeto, o sea 1064 .
Medio siglo más tarde otro matemático, Apolonio, creó un sistema parecido basándose en las potencias de la miríada y tomando como partida 10.000 = 104, y de ésta ir elevando a potencias. Su método consistía en escribir una M mayúscula, y sobre ella a, que indicaría los 10.000, b sería la M elevada a 2, es decir, 100.000.000, y así sigue según la necesidad.
La primera fue la de Arquímedes, que elaboró un sistema utilizando octeto. Partiendo de 108 = 100.000.000 y utilizando las diversas potencias de 10 elevadas a los múltiplos de 8 Arquímedes estableció los octetos; así, el primer octeto estaría formado por los números desde el 10.000 hasta el 100.000.000, el segundo sería entre 108 y 1016 , y de igual modo los siguientes. Este sistema da un valor aproximado y relativo, pero que indica una clara superioridad entre una cifra y otra. De esta manera Arquímedes dio como medida de los granos de arena que podrían caber en el universo el octavo octeto, o sea 1064 .
Medio siglo más tarde otro matemático, Apolonio, creó un sistema parecido basándose en las potencias de la miríada y tomando como partida 10.000 = 104, y de ésta ir elevando a potencias. Su método consistía en escribir una M mayúscula, y sobre ella a, que indicaría los 10.000, b sería la M elevada a 2, es decir, 100.000.000, y así sigue según la necesidad.
SISTEMA DE NUMERACIÓN CHINO
El primer sistema de numeración chino fue uno decimal, que con base 10, utilizaba los símbolos equivalentes a diferentes potencias de 10. Se calcula que este sistema data aproximadamente del 1.500 a.C.
Estos son los símbolos que se utilizaban:
Estos son los símbolos que se utilizaban:
Se aplicaba el principio de multiplicación entre los 10 primeros números y las potencias de 10 para conseguir los números, y el orden era muy importante, porque de otro podrían confundirse los números. Los símbolos deben escribirse en el orden del número que se quiera representar; primero las decenas, centenas, etc. y después las unidades concretas. Normalmente los números se escribían en grupos verticales, de arriba abajo, aunque
pues el símbolo ya indica la potencia de 10 que indica el orden decimal; sin embargo, se han encontrado ejemplos en los que se prescindía del símbolo para la potencia de 10.Después se desarrolló otro sistema, más moderno, posicional, casi igual al de hoy, que crearon los grandes sabios, que ya incluyó la aparición del 0 en el siglo VIII por influencia india, y que desde entonces sigue vigente.
SISTEMA DE NUMERACIÓN AZTECA
Los aztecas idearon otro sistema aditivo, utilizando como base el 20, y dando a los números un símbolo representando un objeto tomado de la vida cotidiana. Los símbolos eran dibujos, parecidos a los jeroglíficos egipcios, ideogramas, y cada uno representaba una idea propia y un concepto astronómico. A los símbolos aztecas también se les llama glifos.
Mediante la multiplicación se obtenía el número representado multiplicando el número de glifos iguales por la cifra correspondiente a la posición que ocupan, y después se sumaban los resultados.
Este sistema vigesimal fue el que hizo que los aztecas crearan una ciencia astronómica muy evolucionada. Consiguieron desarrollar un calendario, dividido en días, meses y años, extraordinariamente exacto para la época, en el cual, con los aparatos de mediación de hoy en día, se ha encontrado muy poco margen de error.
SISTEMA DE NUMERACIÓN MAYA
Los mayas tuvieron primero un sistema no posicional y no decimal, con símbolos diferentes para cada unidad y que utilizaba el cero, pero no para marcar la posición. Este sistema fue poco importante, porque entre los siglos IV y III a.C. los calculadores del calendario introdujeron un nuevo sistema, posicional, de base mixta, 20 y 5 y que utilizaba el cero ( 
).
Los mayas elaboraron un sistema posicional de. En este sistema, la posición es imprescindible para determinar el número del que se trata. Los símbolos se escribían en vertical, de arriba abajo, escribiendo primero el de mayor orden. Según la posición, había que multiplicar el valor del símbolo por las diversas potencias de 20, y después sumar el resultado. Usaban el cero para indicar cuando algún orden estaba vacío, pues de otra manera se confundirían los números ya que el valor de cada cifra depende de su posición.
).Los mayas elaboraron un sistema posicional de. En este sistema, la posición es imprescindible para determinar el número del que se trata. Los símbolos se escribían en vertical, de arriba abajo, escribiendo primero el de mayor orden. Según la posición, había que multiplicar el valor del símbolo por las diversas potencias de 20, y después sumar el resultado. Usaban el cero para indicar cuando algún orden estaba vacío, pues de otra manera se confundirían los números ya que el valor de cada cifra depende de su posición.
Sin embargo, los mayas tenían una irregularidad en su sistema, pero hecha a propósito. Para escribir las fechas utilizaron el 18 en vez de la base 20 en las unidades de tercer orden; en vez de 20×20=400, se multiplicaba la cifra en la tercera posición desde abajo por 20×18=360; 20×360=7.200, etc., puesto que los mayas eran grandes astrónomos y daban mucha importancia al calendario, y de este modo conseguían un número muy cercano a la duración de un año solar quitando los días funestos o festivos (365 días:18 meses de 20 días más 5 días festivos). De hecho, los mayas inventaron su sistema de numeración para medir el tiempo y el calendario, y no para hacer cálculos matemáticos. Pues como se puede comprobar en los ejemplos, este sistema es lógico pero un poco complicado a la hora de conseguir el número final.   | 1 x 360 + 0 x 20 + 5×1 365 |    | 11 x 20+ 16×1236 | | 4 x 20 + 10×190 | | 4 x 2 880 000 + 6 x 144 000 + 14 x 7 200 +13 x 360+ 15 x 20+ 2 x 1 12 489 782 |
 | 5 x 360 + 1 x 20 + 0x1 1820 | | 12 x 20 + 10×1250 |  | 0 x 20 + 8×1 (0)8 |
SISTEMA DE NUMERACIÓN BABILÓNICO
En la Antigua Mesopotamia se desarrollaron varios pueblos y distintos sistemas de numeración, pero el que destaca sin dudar es el de los antiguos babilonios. Apareció más o menos a la vez que la escritura, sobre el 3.300 a.C. y era un sistema mixto: aditivo y de base 10 hasta el 60, y posicional de base 60 para números superiores a éste.
El sistema se valía solamente de 2 símbolos, uno con forma de cuña que representaba la unidad y otro con forma de delta que representaba 10.
Iban añadiendo unidades según fuera necesario, valiéndose del símbolo para 10 para ahorrar espacio.
El sistema se valía solamente de 2 símbolos, uno con forma de cuña que representaba la unidad y otro con forma de delta que representaba 10.
Iban añadiendo unidades según fuera necesario, valiéndose del símbolo para 10 para ahorrar espacio.
Desde el 60, el sistema se transformaba en un sistema posicional. Tomando como base el 60, el último grupo de cifras se multiplicaba por la unidad, pues era el primer orden, el penúltimo se multiplicaba por 60, el segundo orden, el tercero por 60×60=3.600, y así sucesivamente, y luego se sumaban todos los resultados.
SISTEMA DE NUMERACIÓN ROMANO
El sistema de números romanos también es mixto como el babilónico, pues es en parte posicional, pero también utiliza el principio aditivo. El sistema no tiene representación para el cero, y hace uso de siete letras mayúsculas que representan una serie de números con las cuales forman los demás números.
Estas son las letras y su valor numérico:
Estas son las letras y su valor numérico:
I =1 V =5 X =10 L=50 C=100 D=500 M=1.000
Para escribir los demás números se siguen unas reglas elementales:
1- Regla de la adicción:
Una letra escrita a la derecha de otra de igual o mayor valor le suma a ésta su valor. Ejemplos: VI= 5+1=6 CX=100+10=110
Una letra escrita a la derecha de otra de igual o mayor valor le suma a ésta su valor. Ejemplos: VI= 5+1=6 CX=100+10=110
2- Regla de la multiplicación:
Una o varias letras con una raya encima, multiplica por 1.000 su valor, con 2 rayas se multiplica por 1 millón, con tres rayas por 1.0003 y así sucesivamente.
Una o varias letras con una raya encima, multiplica por 1.000 su valor, con 2 rayas se multiplica por 1 millón, con tres rayas por 1.0003 y así sucesivamente.
Ejemplos: VII= 7×1.000=7.000 IX=9×1.000=9.000
3- Regla de la sustracción:
Una de las letras I, X, C y M escritas a la izquierda de otra de mayor valor, le resta a ésta su valor.
Ej.: IV= 5-1= 4 CD=400 *CMM >MCM=1900
Las letras V, L y D siempre suman, no pueden estar a la izquierda de otra mayor.
Ej.: *VL > XLV=45
Hay que tener en cuenta para la resta que:
– la letra I sólo puede restar a V y a X. *IC>XCIX=99
Hay que tener en cuenta para la resta que:
– la letra I sólo puede restar a V y a X. *IC>XCIX=99
- la letra X sólo resta a L y a C. CXC=190
- la letra C sólo resta a D y a M. CMXXXV=935
-si una de las letras I, X o C se repite al estar restando su repetición sólo se puede colocar a su derecha y no adyacente a la letra que resta.
Ej.: *IVI>V=5 *XXL>XXX=30
Ej.: *IVI>V=5 *XXL>XXX=30
-dos letras distintas pueden aparecer restando dentro de la misma cifra si no son adyacentes. *IXL>XLI=41
-si entre dos letras aparece otra de menor valor, ésta resta su valor a la siguiente.
XIX=19 LIV=54 CXXIX=129
XIX=19 LIV=54 CXXIX=129
4- Regla de la repetición:
Las letras I, X, C y M no se pueden repetir más de 3 veces seguidas, mientras que las letras V, L y D no se pueden escribir 2 veces seguidas.
Las letras I, X, C y M no se pueden repetir más de 3 veces seguidas, mientras que las letras V, L y D no se pueden escribir 2 veces seguidas.
Ejemplos: *CCCC> CD *VIV>IX *DD>M
Para leer los números romanos se empieza por la izquierda y de mayor a menor.
Siguiendo estas reglas, así se escribirían las centenas hasta 100:
10 = X 20 = XX 30 = XXX 40 = XL 50 = L 60 = LX 70= LXX 80 = LXXX 90 = XC
Siguiendo estas reglas, así se escribirían las centenas hasta 100:
10 = X 20 = XX 30 = XXX 40 = XL 50 = L 60 = LX 70= LXX 80 = LXXX 90 = XC
Cuanto mayores son los números, más se complica la escritura:
149= CXLIX 245= CCXLV 399=CCCXCIX 444=CDXLIV 899=DCCCXCIX 976=CMLXXVI 999=CMXCIX 2.345=MMCCCXLV
149= CXLIX 245= CCXLV 399=CCCXCIX 444=CDXLIV 899=DCCCXCIX 976=CMLXXVI 999=CMXCIX 2.345=MMCCCXLV
También se podían llevar a cabo operaciones, pero como los numerales romanos tratan números enteros, las operaciones que se pueden efectuar pueden ser reducidas a sumas y restas, que aún así conllevan un difícil proceso si lo comparamos con la forma de operar del sistema decimal.
SISTEMA DE NUMERACIÓN ÁRABE
El pueblo árabe tenía varias formas de escribir los números, pues se han encontrado hasta tres tipos diferentes de aritmética usados en los esos países hacia el siglo XI.
-El primer tipo era un sistema sexagesimal (de base 60) que utilizaba las letras del alfabeto árabe para representar los números. A este sistema se le llamaba ‘huruf al jumal’, que significa ‘letras para calcular’, o también ‘abjad’, los cutro primeros números (a>1; b>2; j>3; d>4). Se cogían nueve letras para representar los números del 1 al 9, luego otras nueve para las centenas desde 10 hasta 90, las siguientes nueve letras para las centenas de 100 a 900, y la última letra restante (había 28 letras en total) la usaban para representar el 1.000.
-Un segundo tipo lo usaban sobre todo los comerciantes, pues era útil para negociar, ya que consistía en contar con los dedos las cifras escritas en palabras.
-El otro sistema es que se deriva de la numeración india, y es el que utilizamos nosotros hoy en día. Los indios inventaron este sistema ya antes del siglo VII, con nueve símbolos para los nueve primeros números y un símbolo para el cero (símbolos distintos a los nuestros), y combinando estos símbolos según el valor de la posición de los decimales. Los árabes adoptaron el sistema indio por sus ventajas y su práctica, lo utilizaron para el cálculo y lo transmitieron a otros lugares. Ya en el siglo X aparecen los números indios en un documento copiado por un monje en España; en el siglo XIII Leonardo da Pisa (Fibonacci) trató de introducir este sistema en Europa, aunque tardó mucho en imponerse porque la gente rechazaba el nuevo sistema por ser algo nuevo y ajeno. Los especialistas en cálculo, que utilizaban el ábaco, se opusieron tajantemente porque decían que un método que permitiese calcular con tanta facilidad debía provenir del demonio. Así que no fue hasta entrado el siglo XV que los números indios empezaron a utilizarse en Europa, y gracias a ellos la matemática pudo avanzar enormemente.
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
| 6º orden Centena de millar | 5º orden Decena de millar | 4º orden Millar | 3er orden Centena | 2º orden Decena | 1erorden Unidad |
| 100.000 | 10.000 | 1.000 | 100 | 10 | 1 |
Después sigue el millón, la decena de millón, la centena de millón, etc.
De este modo, para leer un número, se debe dividir en números de tres cifras empezando desde el final, y después se lee cada orden final.
Por ejemplo: 236.854.971 sería: 236 millones, 854 mil, 971 (unidades).
De este modo, para leer un número, se debe dividir en números de tres cifras empezando desde el final, y después se lee cada orden final.
Por ejemplo: 236.854.971 sería: 236 millones, 854 mil, 971 (unidades).
Una ventaja de este sistema es que los diversos órdenes se pueden expresar utilizando potencias de 10, así que se puede escribir un número a base de potencias de 10 multiplicadas por cada dígito:
1 = 100
10 = 101
100 =102
1.000 = 103
10.000 = 104
100.000 = 105
1.000.000 = 106
10.000.000 = 107
10 = 101
100 =102
1.000 = 103
10.000 = 104
100.000 = 105
1.000.000 = 106
10.000.000 = 107
| De este modo, podemos poner el número 954. 525.677 de esta forma: (9 x 108) + (5 x 107) + (4 x 106) + (5 x 105) + (2 x 104) + (5 x 103) + (6 x 102) + (7 x 101) + (7 x 100). Y al contrario, podemos escribir un número a partir de su desarrollo exponencial: 4 x 105 =400.000 7 x 104 = 70.000 2 x 103 = 2.000 3 x 102 = 300 5 x 101= 50 1 x 100 = 1 472.351 |
Con este sistema, se pueden realizar muchas operaciones fácilmente, como la suma, la resta, la multiplicación, la división, la elevación a potencias o la raíz cuadrada.
A raíz del sistema decimal, más recientemente se han creado otros sistemas basados en el decimal pero cambiando la base. Así tenemos el binario de base 2, el octal de base 8, el duodecimal de base 12 y el hexadecimal de base 16, que son utilizados en campos específicos.
A raíz del sistema decimal, más recientemente se han creado otros sistemas basados en el decimal pero cambiando la base. Así tenemos el binario de base 2, el octal de base 8, el duodecimal de base 12 y el hexadecimal de base 16, que son utilizados en campos específicos.
SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO
El sistema binario es un sistema posicional de base 2 que sólo utiliza dos símbolos, el cero (0) y el uno (1). Según la posición, cada cifra tiene distinto valor. Los órdenes se forman según el 2, es decir, que dos unidades de un orden forman la siguiente unidad de orden superior. Cada posición equivale a una potencia de base 2 elevada al número de la posición del dígito menos uno.
Así, el número 1011 equivaldría a: 1×2(4-1) + 0x2(3-1) + 1×2(2-1) + 1x 2(1-1)
1×23 + 0x22+ 1×21 + 1x 20 = 8+0+2+1 = 11
Así, el número 1011 equivaldría a: 1×2(4-1) + 0x2(3-1) + 1×2(2-1) + 1x 2(1-1)
1×23 + 0x22+ 1×21 + 1x 20 = 8+0+2+1 = 11
Obviamente, con este sistema hacen falta muchos más dígitos para expresar un número grande. Por ejemplo, para expresar números mayores de 255 se necesitarán más de ocho dígitos, ya que 28 = 256, lo que implica que 255 es el número más grande que se puede expresar con ocho dígitos. En general, para un número n de dígitos puede expresarse como máximo 2n números. El número más grande que se puede escribir con n dígitos sería 2n – 1.
Con el sistema binario también se puede operar, de forma parecida a la del sistema decimal se pueden hacer sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.
El sistema binario lo utilizan los sistemas digitales, pues es muy útil para trabajar con ordenadores.
El sistema binario lo utilizan los sistemas digitales, pues es muy útil para trabajar con ordenadores.
SISTEMA DE NUMERACIÓN DUODECIMAL
El sistema duodecimal, como su nombre indica, es de base 12, teniendo los mismos símbolos que el decimal hasta el 10, más las dos primeras letras griegas (a y b).
Este sistema fue propuesto por el francés Georges-Louis Leclerc, conde de Bufón en el siglo XVIII, porque pensaba que el 10 era un número demasiado grande para la cantidad de divisores enteros que tiene (sólo el 1, el 2, el 5 y el 10), mientras que el 12, que no es mucho más grande tiene más divisores: el 1, el 2, el 3, el 4, el 6 y el 12. Esto es importante para la división en fracciones, ya que en el sistema decimal la división se puede hacer en dos medios, en cinco partes o en diez partes. Para otras fracciones como los cuartos, los tercios o los sextos se necesitan dos (0,25) o infinitas cifras decimales (0,333….).
En cambio en el sistema duodecimal, los tercios, los cuartos, los sextos y las doceavas partes se podrían escribir con una sola cifra.
Como curiosidad, cabe destacar que la costumbre de contar algunos productos del mercado en docenas viene de la propuesta del sistema duodecimal.
Este sistema fue propuesto por el francés Georges-Louis Leclerc, conde de Bufón en el siglo XVIII, porque pensaba que el 10 era un número demasiado grande para la cantidad de divisores enteros que tiene (sólo el 1, el 2, el 5 y el 10), mientras que el 12, que no es mucho más grande tiene más divisores: el 1, el 2, el 3, el 4, el 6 y el 12. Esto es importante para la división en fracciones, ya que en el sistema decimal la división se puede hacer en dos medios, en cinco partes o en diez partes. Para otras fracciones como los cuartos, los tercios o los sextos se necesitan dos (0,25) o infinitas cifras decimales (0,333….).
En cambio en el sistema duodecimal, los tercios, los cuartos, los sextos y las doceavas partes se podrían escribir con una sola cifra.
Como curiosidad, cabe destacar que la costumbre de contar algunos productos del mercado en docenas viene de la propuesta del sistema duodecimal.
SISTEMA DE NUMERACIÓN OCTAL
El sistema binario tiene el inconveniente de que necesita muchos números para representar un número, por eso se han creado otros sistemas como el octal y el hexadecimal que no necesitan tantos dígitos y cuya conversión a binario o viceversa es bastante simple.
El sistema octal usa ocho dígitos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 0) que tienen el mismo valor que en el sistema decimal, pero su valor relativo cambia dependiendo de la posición que ocupen. El valor de cada posición viene dado por las potencias de base 8.
Al igual que en el sistema binario, el valor de un dígito se calcula multiplicando el número escrito por una potencia de base 8 elevada en este caso simplemente a la posición que ocupa el dígito empezando desde la derecha. Así el número octal 8238 tiene un valor:
8 x 83 + 2 x 82 + 3 x 81 = 8 x 512 + 2 x 64 + 3 x 8 = 424810
Al igual que en el sistema binario, el valor de un dígito se calcula multiplicando el número escrito por una potencia de base 8 elevada en este caso simplemente a la posición que ocupa el dígito empezando desde la derecha. Así el número octal 8238 tiene un valor:
8 x 83 + 2 x 82 + 3 x 81 = 8 x 512 + 2 x 64 + 3 x 8 = 424810
Como se puede observar, el subíndice marca el sistema en el que estamos, ya que como los símbolos son los mismos los números podrían confundirse.
8238 = 424810
8238 = 424810
El sistema de numeración octal también se utiliza para los ordenadores ya que tiene una base que es potencia exacta de la numeración.
SISTEMA DE NUMERACIÓN HEXADECIMAL
El sistema hexadecimal también deriva del decimal, con la diferencia de que es de base 16, o sea que tiene 16 símbolos, que coinciden con los del sistema decimal hasta 9. Para las siguientes cifras hasta 16 se utilizan las seis primeras letras del alfabeto latino.
A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15
A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15
Por lo tanto, estos son los 16 símbolos que utiliza:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F
El valor de cada dígito depende de nuevo de la posición, y se calcula del mismo modo que en el sistema binario, multiplicando el dígito por la potencia de base 16 en este caso elevada al número de la posición ocupada menos uno. Por ejemplo, teniendo el número 1A3F16, cuyo subíndice indica que pertenece al sistema hexadecimal, vamos a calcular su valor:
1A3F16 = 1×163 + Ax162 + 3×161 + Fx160
1A3F16 = 1×163 + Ax162 + 3×161 + Fx160
1x 4096 + 10 x 256 + 3 x 16 + 15 x 1 = 6719
1A3F16 = 671910
1A3F16 = 671910
El sistema hexadecimal también es utilizado en computación, donde fue introducido por primera vez en 1963 por IBM, y se sigue utilizando hoy en algunos ordenadores.
En conclusión podemos decir que a lo largo de la historia las distintas culturas y civilizaciones han inventado diferentes sistemas de numeración, algo imprescindible en cualquier sociedad. Ha habido mucha variedad de sistemas, no sólo entre los expuestos aquí, que no son más que un ejemplo de los sistemas de numeración más célebres, sino entre todos los que ha habido desde los comienzos de la civilización, y hoy en día utilizamos el sistema decimal porque claramente tiene grandes ventajas sobre los otros, como la facilidad de escribir los símbolos y la poca cantidad de ellos que hacen falta para expresar números muy grandes, y la consecuente facilidad para comparar unos números con otros y para operar con ellos; por eso, es el que ha prevalecido y se usa universalmente.
No hay comentarios:
Publicar un comentario