MATEMÁTICAS EN LA ESO: POLINOMIOS. ALGEBRA. 4º ACADÉMICAS

ÍNDICE: EJER RESUELTOS paso a paso
-Expresiones algebraicas.
-Suma, diferencia y producto de polinomios

-Potencia de un polinomio. Identidades notables.

-División de polinomios.

-Regla de Ruffini.

-Teorema del resto y del factor.

-Raíces de un polinomio. Factorización.

SUMA, DIFERENCIA Y PRODUCTO:

SUMA, DIFERENCIA

MONOMIOS	A(x)	B(x)	A(x)+B(x)	A(x)-B(x)
No semejantes	-5x²	2x⁴	2x⁴-5x²	-5x²-(2x⁴)= -5x²-2x⁴= -2x⁴-5x²
Semejantes: Se suman coeficientes, se conserva la parte literal	-5x²	7x²	-5x²+ 7x²= (-5+7)x²	-5x²-(7x²)=-5x²-7x²= (-5-7) x²=-12x²
POLINOMIOS	P(x)	Q(x)	P(x)+Q(x)
SUMA:Reduzco el polinomio, agrupando términos semejantes.	2x⁴-5x²	6x⁵-3x⁴+2x²-4x+1	2x⁴-5x²+6x⁵-3x⁴+2x²-4x+1=
RESTA			P(x)-Q(x)
1º Quito paréntesis, si delante hay un “-“ cambio de signo todo el polinomio. 2º Reduzco el polinomio			2x⁴-5x²+6x⁵-(-3x⁴+2x²-4x+1)=

PRODUCTO

MONOMIOS	A(x)·B(x)	Resultado.
Multiplico los coeficientes. Multiplico la parte literal sumando los exponentes.	(-5x²)·( 2x⁴)=	(-5·2)·( x²·x⁴)= -10x⁶
MONOMIO POR POLINOMIO	A(x)·Q(x)
Multiplico el monomio por cada término del polinomio.	(-5x²)( 2x⁴-3x²+2x-6)	(-5x²)( 2x⁴-3x²+2x-6)
POLINOMIOS.	P(x)·Q(x)
Multiplico cada término del primer polinomio por cada término del segundo.

Ejemplos:

IDENTIDADES NOTABLES.

CUADRADO DE LA SUMA	(a+b)²=	Ejemplo.
El cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.	a²+2ab+b²	( x²+2)²=
CUADRADO DE LA RESTA	(a-b)²=
El cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo menos el cuadrado del segundo.	a²-2ab+b²	( 3x²-4)²=
SUMA POR DIFERENCIA	(a+b)·(a-b)
El cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo.	a²-b²	(5x²+2y) (5x²-2y) =

Ejemplos:

EJERCICIO: Ver solución >>

DIVISIÓN

Ejemplos:

REGLA DE RUFFINI: Permite realizar de forma rápida la división de un polinomio entre un binomio (POLINOMIO DE GRADO 2) del tipo x+a o x-a, donde a es un número real positivo.

Ejemplo, consideremos P(x)=2x³ + x² - 3x + 5 y Q(x)=x-1. La división se realiza como sigue:

1.Se ordena el polinomio P(x) de mayor a menor grado y se colocan los coeficientes de cada término . Si no apareciese algún término entre el de mayor grado y el de menor se coloca un 0. A la izquierda se pone el número que se resta a x en Q(x), en nuestro caso 1 y se baja el coeficiente del término de mayor grado, este paso se corresponde con la figura 1.

2. Se multiplica el coeficiente que se ha bajado (2) por el que se ha colocado a la izquierda (1). El resultado del producto se coloca debajo del coeficiente del término siguiente y se suman. Figura 2

3. El resultado de la suma se vuelve a multiplicar por el número situado a la izquierda y se repite el proceso. Figuras 3 y 4.

4. El último número (recuadro rojo en Fig. 4) se corresponde con el resto de la división mientras que el resto de números de la fila inferior son los coeficientes del cociente.
Resto = 5 y C(x)=2x² + 3x por tanto 2x³ + x² - 3x + 5 =(x-1) (2x² + 3x) +5

TEOREMA DEL RESTO Y DEL FACTOR

	Enunciado	APICACIONES
TEOREMA DEL RESTO	El resto de dividir un polinomio P(x) entre el binomio x-a es igual al valor numérico del polinomio para x=a	-Permite calcular el valor numérico x=a simplemente aplicando RUFFINI. -Permite determinar el resto de la división P(x):(x-a) calculando el valor para P(a) obtenemos el resto. Es decir P(a)=R(x)=RESTO
TEOREMA DEL FACTOR	Un polinomio P(x) tiene como factor x-a (es divisible por x-a) si el valor numérico del polinomio para x=a es cero; es decir P(a)=0 A LOS NÚMERO QUE HACEN ESTO SE LES LLAMA RAICES DEL POLINOMIO.	-Permite calcular las raices de un polinomio aplicando Ruffini. -Permite descomponer factorialmente un polinomio calculando sus raices.
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA	Un polinomio de grado n puede tener, como máximo, n raices reales.	-Permite conocer el número máximo de divisores del polinomio conociendo su grado. -Además, los valores de a, son múltiplos del término independiente.