PROPORCIONALIDAD 1º ESO.

1. RAZONES Y PROPORCIONES

1.1) Figuras equivalentes, razón de proporcionalidad:

 

La razón es la constante que nos permite calcular los lados de una figura respecto de otra semejante:

RAZÓN DE PEQUEÑO A GRANDE= 

RAZÓN DE GRANDE A PEQUEÑO= 

Para calcular la razón basta con dividir el valor de un lado de la segunda figura entre el valor del lado correspondiente de la primera figura. 

1.2) RAZÓN ENTRE DOS NÚMEROS: 

Una razón es el cociente indicado de dos números  a/b

Ejemplos:
-La razón entre 10 y 2 es _______________________________________, ya que 

-La razón entre 3 y 4 es _____________________________

- Ana mide 150 cm y su primo Pedrito 50 cm., luego sus alturas están en razón 3 a 1, pues:

150/50=...

OBSERVACIONES:

-Los valores de a y b son números racionales (es decir pueden tomar valores decimales, ejemplo: 2,5/6

-

1.3  PROPORCIÓN NUMÉRICA: Relacionamos 4 números, expresados dos a dos en forma de razón, Si forman la misma razón decimos que están en proporción numérica.

Es decir, Una PROPORCIÓN es una igualdad de dos razones a/b y c/d, y se lee a es a b, como c es a d. A los términos a y d se les llama "extremos" y a c y d "medios".

Ejemplo 1:

- Los números 2, 5 y 8, 20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 y 5 es la misma que la razón entre 8 y 20.

Es decir _, 
Ejemplo 2:
-Los números 2/5 y 3/10??

-Ejercicios: 1, 2 de la pág. 90

c) CÁLCULO DEL TÉRMINO DESCONOCIDO DE UNA PROPORCIÓN

La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporción, el producto de los extremos es igual al de los medios.

Así en ejemplo 1 anterior  se cumple que el producto de los extremos nos da 2x20=40 y el producto de los medios nos da 5x8=40

EN GENERAL    a/b=c/d  --> a·d= b·c

Ejemplos:

-Calcula el término desconocido para que las siguientes proporciones sean correctas:

a) 1/2=6/x

b) 4/6=x/15

Ejercicios: 3, 4 de la pág: 90

1. 4 PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA:

Lee los siguientes problemas y da el resultado:

PROBLEMA 1:

Si un tren tarda  horas en recorrer  kilómetros, ¿cuánto tardará en recorrer el doble?

PROBLEMA 2:

Si el kilo de cerezas va a  €, ¿cuánto costará comprar medio kilo?

PROBLEMA 3:
Si  agricultores tardan  días en arar un campo, ¿cuánto tardarán  agricultores en realizar el mismo trabajo?

Como ves, según. la relación entre las magnitudes que intervienen en un problema lo resolveremos de una forma u otra. Por eso es importante reconocer las MAGNITUDES y saber distinguir la RELACIÓN que hay entre ellas y que puede ser DIRECTA o INVERSA. O incluso no tener relación.

Proporcionalidad directa

Diremos que la proporción es directa si relacionan magnitudes en las que al aumentar una también lo hace la otra y viceversa.

Dos magnitudes son directamente proporcionales si, al multiplicar/dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada/dividida por el mismo número.

La constante de proporcionalidad, k,  se calcula al dividir una magnitud entre la otra.

En este caso la regla de tres se aplicará de la siguiente manera:

Ejemplo:

Si un tren tarda  horas en recorrer  kilómetros, ¿cuánto tardará en recorrer el doble?

Primero observamos que es un caso de proporción directa ya que a más horas mas kilómetros recorrerá el tren. La respuesta se puede deducir mentalmente, puesto que si el tren tiene que recorrer el doble de distancia también tardará el doble de tiempo, con lo que necesitará  h para recorrer los  km. La deducción es correcta, pero veamos como se resuelve aplicando la regla de tres para proporciones directas.

Tenemos la siguiente relación:

Es decir, si en  h se recorren  km, en  h se recorrerán  .

Observamos que la relación también puede expresarse siguiendo el modelo de igualdad entre fracciones usado para describir el concepto de proporción:

Donde las dos magnitudes del ejercicio quedan en fracciones distintas: el tiempo a un lado de la igualdad y la distancia al otro.

Ahora sólo hay que despejar  para hallar la solución:

Por tanto el tren tardará  horas en recorrer  km.

Proporción inversa.

Diremos que la proporción es inversa si implica una relación de magnitudes en que al aumentar una la otra disminuye y viceversa. En este caso la regla de tres se aplicará de la siguiente manera:

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multiplicada) por el mismo número.

Resuelve el siguiente ejemplo:

Tres pintores tardan 10 días en pintar una tapia. ¿Cuánto tardarán seis pintores en hacer el mismo trabajo? . Al aumentar el número de pintores disminuye el tiempo que se tarda en pintar la tapia, como el número de pintores se multiplica por 2, el número de días que s emplean en pintar se divide por 2. Así tardarán 5 días.

 2. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

a) 

Ejemplo

Un saco de patatas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos? 

Un cargamento de patatas  pesa 520 kg ¿Cuántos sacos de 20 kg se podrán hacer?

Número de sacos	1	2	3	...	26	...
Peso en kg	20	40	60	...	520	...

Observa que

Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente proporcionales.

La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a kg es k=20. (dividiendo 20/1; o 40/2,...)

Ejemplos anaya: enlace1; 

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: hay varios métodos válidos que utilizaremos según nos interese.

Ejemplo

Si el kilo de cerezas va a  €, ¿cuánto costará comprar medio kilo?

Tenemos una proporcionalidad directa puesto que a menos kilos que compremos más barato nos costará.

Tenemos la relación de proporcionalidad:

Aplicando la regla de tres tenemos:

 €

Es decir, medio kilo de cerezas costarán la mitad que un kilo.

b) Resolución de problemas: Reducción a la unidad

PROBLEMA1: Un grifo arroja 12 litros de agua en 3 minutos. ¿Cuántos arroja en 5 minutos?

 RESOLUCIÓN                                                                            

1. Tipo de proporcionalidad:____                                        1. Columnas: Litros arrojados /tiempo en minutos 

2. datos:                                                                               

12 litros----------> en
             ----------> en                                                             2. reducimos a la unidad             

             ----------> e 5 minutos                                               3.    A partir del dato anterior calculamos el dato pedido. 

EJERCICIOS: Pág 91: 1b, 2.

c) Resolución de problemas: mediante fracciones equivalentes:

PROBLEMA 2: Una máquina embotelladora llena 750 botellas en un cuarto de hora. ¿Cuánto tardará en llenar 1000 botellas?

RESOLUCIÓN                                                                             

1. Tipo de proporcionalidad:____                                        1. Tabla: nº botellas/tiempo en minutos

2. datos:                                                                               2. expresión en forma de fracción/proporción

                                                                                             3. calculo el valor que falta.

d) Resolución de problemas uso de la regla de 3

PROBLEMA 3: En un taller de confección se han necesitado 7 metros y medio de tela para confeccionar 6 camisas. ¿Cuántos metros de tela se necesitarán para cubrir un pedido de ochenta camisas?

DATOS                                                                              RESOLUCIÓN

1. Tipo de proporcionalidad:____                                        1. Columnas: Tela necesaria en metros/nº de camisas

2. datos:                                                                               2. Cálculo del término desconocido

                                                                                             

e) Resolución de problemas con la constante de proporcionalidad

PROBLEMA 4: Cuatro horas de aparcamiento cuestan 5€. ¿Cuánto cuesta siete horas?

DATOS                                                                              RESOLUCIÓN

1. Tipo de proporcionalidad:____                                        1. Tabla: Horas de aparcamiento/precio en €

2. datos:                                                                               2. Cálculo de la constante de proporcionalidad

                                                                                             3. Solución

Ejemplos de problemas: enlace2

EJERCICIOS pág 93: 6 (regla de 3); 7 (fracciones); 8 (reducción a la unidad); 9, 10.

EJERCICIOS PUENTE a entregar: PAG 105: 1, 2a,b,c,j,k; 4; 8, 9

3. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

3.1 CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD: k=MAGNITUD1·MAGNITUD2 Ejemplo Si  agricultores tardan  días en arar un campo, ¿cuánto tardarán  agricultores en realizar el mismo trabajo? Se trata claramente de un ejemplo de proporción inversa, puesto que a más agricultores trabajando menos tiempo se tardará en arar el mismo campo. Para resolverlo se aplica la regla de tres como se ha enseñado: Y se resuelve:  días Es decir, mientras que dos agricultores tardan  días, con la ayuda de otros  compañeros consiguen hacer el mismo trabajo en tan solo  días. Ejercicios: PAG 95: 1  3.2 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: REDUCCIÓN A LA UNIDAD: Como en la regla de 3 directa primero calculamos el valor para la unidad y después calculamos el que nos piden. Ejercicios: PAG 95: 3, 4 (CASA) 3.3 PROPORCIONES EN LAS TABLAS DE PROPORCIONALIDAD INVERSA:  Partiendo del ejemplo anterior PINTORES:            3          6 TIEMPO (Días)     10         x 3·10=6·x=constante de proporcionalidad; luego nuestra proporción sería: 3/6=10/x ó 3/10=6/x Lo que nos da la solución:  x=3.10/6 Ejercicios: PAG 95:  6, 7 (Casa) 3.4.Regla de tres simple inversa  Dadas dos magnitudes, se conocen la equivalencia entre un valor de una y el valor de la otra. Entonces para cada nuevo valor que se de a una magnitud calculamos el valor proporcional inverso de la segunda magnitud En una granja avícola hay 300 gallinas que se comen un camión de grano en 20 días. Si se compran 100 gallinas más ¿En cuanto tiempo comerán la misma cantidad de grano? 2 grifos que vierten agua de forma constante llenando un depósito en 5 horas, si usamos 10 grifos para llenar ese depósito ¿Cuánto tiempo tardarán en llenarlo? Solución =   Ejercicios: PAG 105: 10; 11 (casa) REPASO para entregar: PAG 105: 1, 2a,b,c,j,k; 4; 8, 9, 14, 15.  enlace: https://www.sangakoo.com/es/temas/proporcion-directa-e-inversa