Cálculo de la raíz cuadrada

El algoritmo de la raíz cuadrada siempre me ha parecido caprichoso y arbitrario. A los algoritmos de las otras operaciones aritméticas elementales sí les encontraba el sentido, pero al algoritmo de la raíz no: en partícular, eso de doblar el resultado, añadirle una cifra y multiplicar por ella nunca lo vi. Pero es que nunca me puse. Ahora lo he hecho.

1. Definición

La raíz cuadrada de un número x es otro número y si, al elevar y al cuadrado, obtenemos x. Se representa con el simbolo  √$\sqrt{}$, de modo que x√=y$\sqrt{x}=y$ significa que y2=x$y^2=x$.
Por ejemplo, 9‾√=3$\sqrt{9}=3$ porque 32=9$3^2=9$.
La mayoría de números enteros no tienen una raiz cuadrada exacta. En tales casos pasamos del mejor al peor de los resultados, porque entonces la raíz es un número irracional. Por ejemplo, 2‾√=1,4142135...$\sqrt{2}=1,\mathrm{4142135...}$, donde los puntos suspensivos indican que a continuación vienen infinitas cifras decimales no periódicas.
Si necesitamos una aproximación entera de una raíz cuadrada, se habla entonces de raíz entera, que es el mayor número entero que, al cuadrado, es menor que el numero dado. Por ejemplo, la raíz entera de 28 es 5, porque 5 es el mayor entero que cumple 52≤28$5^2\le 28$. Dicho de otro modo: 52≤28<62$5^2\le 28<6^2$. A la diferencia entre el cuadrado y el número original se le llama resto. Se tiene entonces que 28=52+3$28=5^2+3$, es decir, que la raíz entera de 28 es 5 con resto 3.
Simbólicamente, a, entero positivo, es la raíz entera de A > 0 si se cumple que a2≤A<(a+1)2$a^2\le A<(a+1{)}^2$ (la raíz será exacta cuando se dé la igualdad de la izquierda.).

2. El algoritmo

Por si alguien no se acuerda, vamos a repasarlo. La explicación de la izquierda se corresponde con el ejemplo que se ve a la derecha, que se puede recorrer paso a paso gracias a los botones Anterior y Siguiente. Si no tienes problemas con el algoritmo, pasa al punto siguiente. 

Paso 1: se escribe el número bajo el signo radical. Paso 2: se divide el número en grupos de dos cifras a un lado y a otro de la coma decimal. Paso 3: se busca la raíz cuadrada entera del grupo de dos cifras de la izquierda (43), que es 6: esta es la primera cifra de la raíz. Paso 4: se eleva al cuadrado y, paso 5, se resta. Paso 6: se baja el siguiente grupo de dos cifras (25) y, paso 7, se dobla el 6. Paso 8: se busca una cifra que añadida a 12 y tras multiplicar por ella misma, se acerque lo más posible a 725. Se trata de 5, que es la segunda cifra de la raíz, por lo que, paso 9, se escribe a continuación del 6. Paso 10: el resultado se resta y, paso 11, se baja el siguiente grupo de cifras. Paso 12: a partir de aquí repetimos el proceso. Se dobla la raíz y, paso 13, se busca una cifra que añadida a 130 y tras multiplicar por ella misma, el resultado se acerque lo más posible a 10067. Se trata de 7, que es la siguiente cifra de la raíz, por lo que, paso 14, se escribe a continuación del 65, aunque tras una coma decimal, por estar procesando ya la parte decimal del número original. Paso 15: restamos el resultado para obtener el resto. Si quisiésemos obtener más decimales bastaría bajargrupos de dos ceros y repetir el proceso. Ejemplo con 3 cifras Ejemplo con 6 cifras ejemplo con 7 cifras Ejercicios